LOGIKA
MATEMATIKA
I. PENDAHULUAN
Logika adalah dasar dan
alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-pelajaran lainnya,
sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan
pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari metode-metode dan prinsip-prinsip
yang dapat dipakai untuk membedakan cara berpikir benar (correct) atau tidak
benar (incorrect), sehingga dapat membantu menyatakan ide-ide tepat dan tidak
mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika hanya mempelajari atau
memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran, dan penarikan kesimpulan
dari sebuah pernyataan atau lebih.
II. PERNYATAAN
Pernyataan adalah
suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja
dan tidak kedua-duanya.
Istilah-istilah
lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup,
kalimat deklaratif, statement atau proposisi.
III. PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK
Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan,
kalimat juga dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk.
Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak
memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk
dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa
pernyataan tunggal.
Dua pernyataan tunggal
atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan
pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk
disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan
majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja
pernyataan majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana menggabungkan
pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk.
Untuk menggabungkan
pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dapat dipakai kata
gabung atau kata perangkai yang disebut operasi-
operasi
logika matematika.
Contoh:
1.
Jakarta
adalah ibukota negara RI
2. Merah putih adalah bendera negara RI
3.
2
adalah bilangan prima yang genap
4. Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu
genap
Soal:
Buatlah contoh
pernyataan tunggal dan majemuk, kemudian tentukan nilai kebenarannya!
IV. OPERASI LOGIKA
Adapun operasi-operasi yang dapat
membentuk pernyataan majemuk adalah
1. Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah
benar, simbol “ ~ “
2. Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol “ Ù “
3. Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol “ Ú “
4. Implikasi, dengan kata perangkai Jika ……, maka ……..,
simbol “ Þ “
5. Biimplikasi, dengan kata perangkai …….jika dan hanya jika
……., simbol “ Û “
Contoh pernyataan majemuk:
1. Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna
putih
2.
Ani
dan Ana anak kembar
3. Cuaca hari ini mendung atau cerah
4.
Jika x
= 0 maka
5. Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan
hanya jika ketiga sudutnya sama
V. TABEL KEBENARAN
1. Operasi Negasi
Operasi negasi atau ingkaran adalah
operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi
dilambangkan “ ~ “
Jika p adalah
pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk.
Negasi dari suatu
pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan
yang bernilai salah adalah benar.
Definisi: Suatu
pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang
berlawanan
Definisi diatas
dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
p ~ p
B S
S B
Contoh:
p :
Jakarta ibukota negara Republik Indonesia
~ p : Jakarta bukan ibukota negara Republik
Indonesia
2. Operasi Konjungsi
Suatu pernyataan majemuk yang
dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata
perangkai dan disebut konjungsi. Operasi konjungsi dilambangkan dengan “ Ù “
Definisi: Sebuah
konjungsi bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai
benar, dan bernilai salah jika
salah satu dari komponennya bernilai salah
Definisi diatas dapat
ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
p q p Ù
q
B B B
B S S
S B S
S S S
3.
Operasi Disjungsi
Suatu pernyataan majemuk yang
dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata
perangkai atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi
dilambangkan dengan “ Ú “
Definisi: Sebuah
disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu
komponennya bernilai benar,
sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar
jika paling sedikit komponennya
bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.
Definisi diatas
dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
Disjungsi Inklusif: Disjungsi
Eksklusif:
p q p Ú q p q p q
B
B B B B S
B S B B S B
S B B S B B
S S S
S S S
4. Operasi Implikasi
Suatu pernyataan majemuk yang
dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata
perangkai Jika …. maka ….. disebut implikasi. Operasi implikasi dilambangkan
dengan “ Þ “
Definisi: Sebuah
pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan
konsekwennya salah, dalam
kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar.
Definisi diatas
dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
p q p Þ q
B B B
B S S
S
B B
S S B
5. Operasi
Bi-implikasi
Suatu pernyataan majemuk yang
dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata
perangkai …… jika dan hanya jika …… disebut biimplikasi. Operasi biimplikasi dilambangkan dengan “ Û “
Definisi: Sebuah
pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-koponennya
mempunyai nilai kebenaran sama,
dan jika komponen-koponennya
mempunyai nilai kebenaran tidak
sama maka biimplikasi bernilai salah.
Definisi diatas
dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
p q p Û q
B B B
B S S
S B S
S S B
VI. BENTUK-BENTUK PERNYATAAN
Bentuk-bentuk pernyataan dalam logika
dibedakan dalam:
1. Kontradiksi
2. Tautologi
3.
Kontingensi
Kontradiksi adalah suatu bentuk
pernyataan yang hanya mempunyai contoh substitusi yang salah, atau sebuah
pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran
dari komponen-komponennya.
Tautologi adalah
sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memandang nilai
kebenaran dari komponen-komponennya.
Kontingensi adalah
sebuah pernyataan majemuk yang bukan suatu tautologi maupun kontradiksi.
Contoh:
Selidiki
pernyataan di bawah ini apakah suatu tautologi, kontradiksi atau kontingensi!
( ~p Ù q ) v ( q à p )
p q
~ p ~ p Ù q q à p ( ~p Ù q ) v ( q à p )
B
B S S B B
B
S S S B B
S
B B B S B
S
S B S B B
Karena pada tabel
kebenaran di atas benar semua, maka pernyataan di atas suatu tautologi
Soal:
Selidiki apakah
pernyataan-pernyataan di bawah ini suatu tautologi, kontradiksi atau
kontingensi!
1. ( p Ù
q ) à p
2. ( p à q ) à [ ( ~ q Ù
r ) à ( r Ù
p ) ]
3. ( p v q ) à ( ~ p à q )
VII. IMPLIKASI LOGIS DAN EKWIVALEN LOGIS
Suatu bentuk pernyataan implikasi yang merupakan
tautologi disebut implikasi logis.
Contoh:
p
q p à q
( p à q ) Ù
p [ ( p à q ) Ù
p ] à p
B
B B B B
B
S S S B
S
B B S B
S
S B S B
Dua atau lebih pernyataan majemuk
yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekwivalen logis dengan notasi “ º “ atau “ » “
Contoh:
p q
p Û
q p à q
q à p
( p à q ) Ù
( q à p )
B
B B B B B
B
S S S B S
S
B S B S S
S
S B B B B
Karena p Û
q mempunyai nilai kebenaran sama dengan ( p à q ) Ù ( q à p ), maka kedua pernyataan majemuk di
atas disebut ekwivalen logis.
Jadi, p Û q » ( p à q ) Ù ( q à p )
Soal:
Selidiki apakah
pernyataan di bawah ini apakah implikasi logis atau ekwivalen logis!
1.
[( p à q ) v
r ] à [( p Ù ~ q ) v r]
2.
[ ~ (
p Ù q
)] º ( p à q )
VIII.
KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI
·
Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi q à p disebut konvers
·
Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi ~ p à ~ q disebut invers
·
Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi ~ q à ~ p disebut kontraposisi
Skema konvers, invers dan kontraposisi dapat dilihat sbb:
konvers
p à q q à p
invers
kontraposisi invers
~p à ~q ~q à ~p
konvers
Contoh:
Carilah konvers,
invers dan kontraposisi dari pernyataan:
“ Jika binatang
itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah “
Konvers : Jika binatang itu disebut gajah maka
binatang itu bertubuh besar
Invers : Jika binatanag itu tidak bertubuh
besar maka binatang itu bukan gajah
Kontraposisi: Jika
binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar
Soal:
Buatlah konvers,
invers dan kontraposisi dari pernyataan:
1. Jika dua buah garis saling tegak lurus maka kedua garis itu
membentuk sudut siku-siku
2.
Jika x = 3 maka = 9
IX. PENGERTIAN KUANTOR
Suatu Kuantor
adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan
mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau
pernyataan.
Kuantor dibedakan atas:
1.
Kuantor
Universal/ Umum ( Universal Quantifier ), notasinya : “”
2. Kuantor Khusus ( Kuantor ( Eksistensial Quantifier ),
notasinya : “ “
Contoh:
Jika p(x) kalimat
terbuka: x + 3 > 5
Apabila pada
kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka: x, x + 3 > 5 ( S )
atau x, x + 3 > 5 ( B )
Jika x Î bilangan bulat, maka tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan
di bawah ini!
1.
(x) (y ) ( x + 2y = 7 )
2.
(x) (y) (x + 2y = x)
3.
(x) (y) ( x > y )
4.
(x) (y) ( x.y = 1 )
X. PERNYATAAN BERKUANTOR
Contoh pernyataan berkuantor:
1.
Semua
manusia fana
2.
Semua
mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa
3. Ada bunga mawar yang berwarna merah
4. Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter
Untuk memberikan
notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi proposisinya
terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan
“Semua manusia fana” maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x)
dan fana F(x), sehingga notasi dari semua manusia fana adalah x, M(x) à F(x)
Buatlah notasi
untuk pernyataan berkuantor di bawah ini!
1.
Semua
pedagang asongan adalah pejalan kaki ( A(x), K(x) )
2. Ada mahasiswa yang tidak mengerjakan tugas ( M(x), T(x) )
3. Beberapa murid ikut lomba Porseni ( M(x), L(x) )
4. Semua guru diharuskan berpakaian seragam ( G(x), S(x) )
XI. NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR
Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari
pernyataan berkuantor tersebut.
Contoh:
Negasi dari
pernyataan: “ Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas “ adalah
“ Ada mahasiswa
yang mengerjakan tugas “
Jika diberikan
notasi, maka pernyataan di atas menjadi:
x, M(x) à , negasinya x, M(x) Ù T(x)
Soal:
Buatlah negasi
dari pernyataan-pernyataan berkuantor pada soal sebelumnya!
XII. ARGUMEN
Argumen adalah kumpulan pernyataan,
baik tunggal maupun majemuk dimana pernyataan-pernyataan sebelumnya disebut
premis-premis dan pernyataan terakhir disebut konklusi/ kesimpulan dari
argumen.
Contoh:
1.
p à q
2.
p / \ q
1.
( p à q ) Ù ( r à s )
2.
~ q v
~ s / \~ p v
~ r
1.
p
2.
q / \p Ù q
XIII. BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN
Bukti keabsahan argumen dapat
melalui:
1. Tabel Kebenaran
2.
Aturan
Penyimpulan
Untuk argumen sederhana atau argumen
yang premis-premisnya hanya sedikit bukti keabsahan argumen dapat menggunakan
tabel kebenaran, namun untuk argumen yang premis-premisnya kompleks harus
menggunakan aturan-aturan yang ada pada logika diantaranya aturan penyimpulan.
Contoh:
Buktikan keabsahan argumen
1.
1. p à q
2.
~ q / \~p
2. 1. a à b
2. c à d
3. ( ~b v ~d ) Ù ( ~a v ~b )/ \~a
v ~c
Bukti:
Soal no. 1 menggunakan tabel kebenaran
p
q ~p ~q p
à q
[( p à q) Ù
~q] [(p à q) Ù
~q] à ~p
B
B S S
B S B
B
S S B
S S B
S
B B S
B S B
S
S B B
B B B
Karena dari tabel kebenaran di atas menunjukkan
tautologi, maka argumen sah
Soal
no. 2 menggunakan aturan penyimpulan
1. a à b
2. c à d
3. ( ~b v ~d ) Ù ( ~a v ~b )/ \~a
v ~c
4. ( a à b ) Ù ( c à d ) 1,2 Conj
5. ( ~b v ~d )
3, Simpl
6. ~ a v ~c
4,5 DD
Soal:
Buktikan keabsahan
argumen:
1. e à ( f Ù
~g)
2. ( f v g ) à h
3. e / \h
XIV.
ATURAN PENYIMPULAN
1. Modus Ponens (MP)
p à q
p / \ q
2. Modus Tolens (MT)
p à q
~q / \~p
3. Hypothetical Syllogisme (HS)
p à q
q à r / \p à r
4. Disjunctive Syllogisme (DS)
p v q
~ p / \ q
5. Constructive Dillema (CD)
( p à q ) Ù ( r à s )
p v r / \q v s
6. Destructive Dillema (DD)
( p à q ) Ù ( r à s )
~ q v ~ s / \~p v ~r
7. Conjunction (Conj)
p
q / \p Ù q
8. Simplification (Simpl)
p Ù q
\p
9. Addition ( Add)
p
\p v q
XV. ATURAN PENGGANTIAN
1. De Morgan
a. ~ ( p Ù q ) º
~ p V ~ q
b. ~ ( p V q ) º ~ p Ù
~ q
2. Komutatif
a. ( p Ù q ) º
( q Ù p )
b. ( p V q ) º ( q V p )
3. Asosiatif
a. ( p V q ) V r º p V ( q V r )
b. ( p Ù q ) Ù
r º p Ù ( q
Ù r )
4. Distributif
a. ( p V q ) Ù r º ( p Ù r ) V ( q Ù
r )
b. ( p Ù q ) V r º
( p V r ) Ù ( q V r )
5. Dobel Negasi
~ ( ~ p ) º
p
6. Implikasi
p à
q º ~ p V q
7. Material Equivalen
a. p Û q º ( p à q ) Ù
( q à p )
b. p Û q º ( p Ù q ) V ( ~ p Ù
~ q )
8. Eksportasi
p à ( q à r ) º
( p Ù q ) à r
9. Transposisi
p à q º ~ q à ~ p
10. Tautologi
a. ( p v p ) º p
b. ( p Ù p ) º
p
Contoh:
Selidiki
keabsahan argumen di bawah ini!
1. a à ( bà c )
2. c à ( d Ù
e ) / \a à ( b à d )
3. ( a Ù b ) à c
1, Eksportasi
4. ( a Ù b ) à ( d Ù e ) 3,4, Hypothetical
Syllogisme
5. ~ ( a Ù b ) V ( d Ù
e ) 4,
Implikasi
6. ( ~ a V ~ b ) V ( d Ù e ) 5, De Morgan
7. [(~ a V ~ b ) V d ] Ù
[(~ a V ~ b ) V e ] 6, Distribusi
8. (~ a V ~ b ) V d 7,
Simplifikasi
9. ~ a V ( ~ b V d ) 8, Asosiasi
10. a à ( b à d ) 9,
Implikasi
Soal:
Buktikan
keabsahan argumen di bawah ini!
1. ( k V l ) à ~ ( m Ù
n )
2. ( ~ m V ~ n ) à ( o Û
p )
3. ( o Û p ) à ( q Ù r ) / \(
l V k ) à ( r Ù
q )
XVI. HUBUNGAN ANTARA LOGIKA DAN HIMPUNAN
1. Semua bilangan bulat adalah bilangan real (
B(x); R(x) )
"x, B(x) à R(x)
B(x)
R(x)
2. Ada bilangan prima yang genap ( P(x); G(x) )
$ x, P(x) Ù G(x) 2
P(x) G(x)
3. Tidak ada bilangan ganjil yang genap ( J(x);
G(x) )
Ekuivalen dengan: Semua bilangan ganjil
bukan bilangan genap
"x, J(x) à ~ G(x) J(x) ~ G(x)
LEMBAR KERJA
1. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini
tautologi, kontradiksi atau kontingensi
a. ( p v q ) à ( ~ p à r )
b. [( p à q ) Ù
( q à p )] à ( p Û
q )
c. ( p Ù q ) Ù
( p à ~q )
2. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini
implikasi logis, ekwivalen logis atau tidak kedua-duanya
a. [( p Ù q ) à r] º [( p à ~q ) v r]
b. [( p à q ) à r] à ( p v q )
c. [p à ( q à r )] º [( p Ù
q ) à r]
3. Buktikan keabsahan argumen di bawah ini!
1. j à k
2. j v ( k v ~l )
3. ~ k / \ ~l v ~k
4. Ubahlah kalimat di bawah ini ke dalam
notasi logika!
a. Tidak semua bunga mawar berwarna merah
(B(x), M(x))
b. Semua mahasiswa baru harus mendaftar
ulang (M(x), U(x))
c. Ada bilangan prima yang genap (P(x),
G(x))
d. Beberapa tamu yang datang pejabat negara
(T(x), P(x))
e. Tidak semua penumpang memiliki karcis
(P(x), K(x))
SELAMAT BEKERJA
KOMBINATORIK, PELUANG DAN STATISTIKA
1. KOMBINATORIK
Dalam
kehidupan sehari-hari sering dijumpai persoalan-persoalan sebagai berikut:
1. Dengan berapa cara dapat disusun n obyek menurut aturan
tertentu?
2. Dengan berapa cara pengambilan sejumlah r obyek dari n
obyek yang ada, bila
r < n?
3. Dengan berapa cara sesuatu kejadian kejadian dapat terjadi?
Persoalan-persoalan di atas dapat diselesaikan dengan
menggunakan kombinatorik
Ada 2 (dua) prinsip pokok yang dipakai untuk
menyelesaikan persoalan kombinatorik, yaitu prinsip penjumlahan dan prinsip
perkalian.
Contoh:
Untuk Prinsip Penjumlahan
· Suatu klub sepak bola mempunyai 40 anggota sedangkan klub
bulutangkis mempunyai 20 anggota.
a. Jika tidak ada anggota sepak bola yang merangkap menjadi
anggota bulutangkis, maka jumlah anggota kedau klub adalah 40 + 20 = 60 anggota
Jika kedua
himpunan tidak beririsan, maka jumlah anggota kedua klub
ditambahkan.
b. Jika ada 7 anggota yang merangkap menjadi anggota kedua
klub, maka dibentuk 3 himpunan yang saling lepas atau tidak beririsan, yaitu:
(i) Himpunan I
terdiri dari pemain sepak bola saja
(ii) Himpunan II
terdiri dari pemain bulutangkis saja
(iii) Himpunan III terdiri dari pemain sepak bola dan
bulutangkis
Ketiga
himpunan ini saling lepas dengan masing-masing anggota 40-7, 20-7
dan 7,
dengan demikian jumlah anggota dari kedua klub adalah 33+13+7= 53
Cara lain untuk memperoleh hasil di
atas adalah dengan rumus
n ( A È
B ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A Ç B )
· Untuk Prinsip Perkalian
Ahmad pergi dari kota A ke kota C dan harus
melalui kota B. Dari kota A ke kota B ada 3 jalan alternatif dan dari kota B ke
kota C ada 2 jalan alternatif. Dengan berapa banyak cara Ahmad bepergian dari
kota A ke kota C?
A B C
Dengan
demikian, menurut prinsip perkalian banyaknya cara bepergian dari kota
A ke kota C
adalah 3 . 2 = 6 cara
Soal:
Diketahui empat angka 1, 2, 5, 8
a. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari dua angka
diketahui.
b. Tuliskan semua bilangan tersebut
c. Berapa banyak bilangan yang bernilai ganjil
1.1.
Permutasi
Definisi:
Susunan
n unsur berbeda dengan memperhatikan urutannya disebut permutasi dari n unsur
tersebut.
Definisi:
Misalkan
n bilangan asli. n faktorial atau n! adalah 1.2.3. . . . . . n
dan 0! =
1
Sifat 1:
Banyaknya permutasi dari r unsur ( r £ n ) yang diambil dari
n unsur berbeda
adalah :
Sifat 2:
Banyaknya permutasi dari n unsur dimana terdapat k unsur yang masing-
masing muncul kali adalah:
Sifat 3:
Banyaknya permutasi siklis dari n unsur adalah: ( n - 1 )!
1.2. Kombinasi
Kombinasi adalah permutasi yang tidak memperhatikan urutan obyek.
Sifat :
Kombinasi r unsur ( r £ n ) dari n unsur
adalah:
1.3. Binomium
Newton
Soal:
1. Diketahui enam angka yaitu: 0, 1, 2, 3, 4 dan 5
a. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk dari enam
angka yang diketahui terdiri dari tiga angka (digit), bila tiap angka hanya
dapat digunakan sekali
b. Berapa banyak daripadanya yang merupakan bilangan genap
c. Berapa banyak yang lebih besar dari 330
2. Dengan berapa carakah enam pohon dapat ditanam membentuk
lingkaran?
3. Dari kelompok yang yang terdiri atas lima pria dan tiga
wanita, berapa banyak panitia yang beranggotakan tiga orang dapat dibentuk:
a. tanpa pembatasan?
b. dengan dua pria dan seorang wanita?
c. dengan seorang wanita dan dua orang wanita bila seorang
wanita tertentu harus ikut dalam panitia?
4. Tentukan koefisien dari (2x - 3)
2. PELUANG
2.1. Pendahuluan
Teori Peluang dikembangkan pada
abad ke XVII oleh ahli matematika dari Perancis yang bernama Pierre de Fermat
dan Blaise Pascal. Awalnya teori peluang dimulai dari permainan judi atau
permainan yang bersifat untung-untungan. Dalam teori peluang banyak dijumpai
soal-soal yang berkaitan dengan uang logam, dadu, kartu bridge dan lain-lain.
Adapun tujuan mempelajari teori peluang
agar siswa dapat menjelaskan konsep-konsep dasar teori peluang supaya lebih
mudah dipahami dan melatih kemampuan siswa dalam hal berolah pikir.
2.2. Pengertian
Ruang Sampel dan Kejadian
Ruang Sampel adalah seluruh kemungkinan yang terjadi
dalam suatu percobaan
Ruang Sampel biasanya dilambangkan dengan huruf besar “ S
“
Contoh:
1. Pada percobaan melempar sebuah dadu, maka ruang sampelnya
ditulis:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
2. Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam
S = { Angka, Gambar } atau S = { A, G }
S = { Muka , Belakang } atau S = { M, B }
Kejadian
adalah bagian dari ruang sampel, biasanya untuk melambangkan suatu kejadian
digunakan huruf besar.
Contoh:
1. Pada percobaan melempar sebuah dadu.
a. Jika A adalah kejadian muncul mata dadu
bilangan genap, maka:
A = { 2, 4, 6 }
b. Jika B adalah kejadian muncul mata dadu bilangan prima,
maka:
B = { 2, 3, 5 }
c. Jika C adalah kejadian muncul mata dadu yang merupakan
faktor dari 12, maka:
C = { 1, 2, 3, 4, 6 }
2. Pada percobaan melempar dua mata uang logam.
a. Jika P adalah kejadian kedua mata uang muncul Angka,
maka:
P = { AA }
b. Jika Q adalah kejadian muncul 1 Angka dan 1 Gambar, maka:
Q = { AG, GA }
Latihan
1:
1. Jika 3 buah uang logam dilempar, tentukan:
a. Ruang Sampel S
b. Kejadian R yaitu kejadian muncul semuanya gambar
c. Kejadian S yaitu kejadian muncul satu angka dan dua
gambar
2. 2 buah dadu
dilempar, yaitu dadu I dan dadu II, tentukan:
a. Ruang Sampel S
b. Kejadian A yaitu kejadian muncul jumlah kedua mata dadu
sama dengan 7
c. Kejadian B yaitu kejadian muncul mata dadu I angka 2
2.3. Peluang Suatu Kejadian
Menghitung Peluang dengan menggunakan Pendekatan
Frekuensi Nisbi atau Frekuensi Relatif
Contoh:
1. Jika sebuah uang logam dilempar
sebanyak 15 kali, kemudian pada setiap lemparan hasilnya dicatat dan diperoleh
frekuensi muncul angka sebanyak 7 kali, maka frekuensi relatif muncul angka =
2. Jika sebuah uang logam dilempar sebanyak 50 kali,
kemudian pada setiap
lemparan
hasilnya dicatat dan diperoleh frekuensi muncul gambar sebanyak 28
kali, maka
frekuensi relatif muncul gambar =
Jadi, peluang suatu kejadian secara frekuensi relatif
adalah perbandingan banyaknya kejadian yang muncul dengan banyaknya percobaan
yang dilakukan dalam waktu tertentu.
Latihan 2:
Lakukan percobaan di bawah ini dengan kelompokmu !
1. Melempar sebuah uang logam sebanyak: 25 kali, 30 kali, 50
kali, dan 100 kali
Kemudian
hitung peluang secara frekuensi relatif munculnya gambar!
2. Melempar sebuah dadu sebanyak 10 kali, kemudian hitung
peluang secara frekuensi relatif
a. munculnya mata dadu bilangan prima
b. munculnya mata dadu 5
c. munculnya mata dadu 2
Menghitung
Peluang Secara Klasik
Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam, maka
peluang muncul gambar =
Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut:
Ruang Sampel pada percobaan melempar sebuah uang logam
adalah S = { A, G }
banyaknya anggota S atau n (S) = 2, sedangkan kejadian
muncul gambar sebanyak 1 atau n (G) = 1, sehingga peluang kejadian muncul
gambar pada percobaan melempar sebuah mata uang logam: p =
Jadi, p =
Menghitung Peluang dengan Definisi Aksioma Peluang
Setiap kejadian di ruang sampel dikaitkan dengan bilangan
antara 0 dan 1, bilangan ini disebut peluang.
a. Kejadian yang tak mungkin terjadi mempunyai peluang nol
b. Kejadian yang pasti terjadi mempunyai peluang satu
c. Peluang dari kejadian A bernilai antara 0 dan 1
d. Jika A dan B dua kejadian sehingga A Ç
B = Æ, maka
P ( A È
B ) = P ( A ) + P ( B )
e. Jika A dan B dua kejadian sehingga A Ç
B ¹ Æ,
maka
P ( A È
B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A Ç B )
Soal:
1. Sebuah dadu dilempar 100 kali. Hasil lemparan dicatat
dalam bentuk tabel sbb:
Muncul
mata
dadu
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
Frekuensi
|
14
|
17
|
20
|
18
|
15
|
16
|
Tentukan frekuensi relatif muncul mata
dadu 3
a. Tentukan frekuensi relatif muncul mata
dadu 1
b. Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu bilangan genap
c. Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu bilangan prima
2. Seorang dokter menggunakan obat Y untuk penyakit Z dengan
peluang 0,8. Tentukan jumlah orang yang diharapkan sembuh jika ia menggunakan
obat Y untuk penyakit Z pada 300 orang
3. Dua buah dadu
dilantunkan secara bersama-sama. Tentukan peluang:
a. Jumlah mata dadu yang muncul 7
b. Dadu I muncul mata dadu 2 dan dadu II
muncul mata dadu 3
c. Dadu I muncul mata dadu 2 atau dadu II
muncul mata dadu 5
2.4. Kejadian
Majemuk
Sifat 1 :
Misalkan A dan B dua kejadian pada ruang sampel dengan A Ç B = Æ,
maka :
P ( A È B ) = P ( A ) + P ( B )
Sifat 2 : Misalkan A dan B dua kejadian
pada ruang sampel dengan A Ç B ¹ Æ,
maka :
P ( A È B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A Ç
B )
2.5. Peluang
Komplemen suatu Kejadian
Sifat :
Misalkan A kejadian pada ruang sampel, maka P ( A’ ) = 1 - P ( A )
2.6. Kejadian
Bersyarat
Definisi:
Dua kejadian A dan B pada ruang sampel dikatakan kejadian bersyarat
yaitu Kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A terjadi lebih dahulu
atau
B/A, maka peluangnya adalah: P(B/A) = atau
P(A Ç
B) = P(A). P(B/A)
2.7. Kejadian Saling Bebas
Definisi: Dua kejadian A dan B pada
ruang sampel dikatakan saling bebas jika
P(A Ç
B) = P(A) . P(B)
Soal:
1. Suatu pengiriman 10 pesawat TV 3
diantaranya dinyatakan cacat. Berapakah
peluang sebuah hotel membeli 4 pesawat TV
tersebut dan 2 TV ternyata cacat?
2. Tiga buah buku
diambil secara acak dari suatu rak yang berisi empat novel, tiga buku syair dan
sebuah kamus. Berapakah
peluang
a. kamus terpilih?
b. dua novel dan sebuah buku syair yang
terpilih?
3. Dua kartu diambil secara berturutan tanpa dikembalikan dari
suatu kotak kartu bridge. Berapakah peluang kartu yang terpilih lebih besar
dari 2 tetapi lebih kecil dari 9?
4. Bila A dan B dua kejadian yang saling asing dengan P(A) =
0,4 dan P(B) = 0,5, hitunglah:
a. P(A È
B)
b. P(A’)
c. P(A’ Ç
B)
5. Dalam sebuah kotak
berisi 15 telur 5 telur diantaranya rusak. Untuk memisahkan telur baik dan
telur yang rusak dilakukan pengetesan satu persatu. Berapakah peluang diperoleh telur rusak
ke 3 pada pengetesan ke 5?
3. STATISTIKA
Pengertian Statistika dan Statistik
Statistika
adalah ilmu yang merupakan cabang dari matematika. Dalam statistika
terdiri dari dua kegiatan:
a. Mengumpulkan data, menyajikan data
dalam bentuk diagram dan menghitung nilai-nilai ukuran data sehingga menjadi
satu nilai yang mudah dimengerti makna dari data tersebut.
b. Menggunakan pengolahan data pada (a) untuk membuat
kesimpulan atau meramalkan hasil yang akan datang.
Kegiatan (a) disebut Statistika Deskriptif dan kegiatan
(b) disebut Statistika Inferensial.
Nilai-nilai ukuran data sehingga mudah dimengerti
maknanya disebut statistik.
Statistik memberikan karakteristik-karakteristik tertentu
dari data. Nilai ukuran terkecil, nilai ukuran terbesar, nilai rataan, median,
modus, jangkauan data, kuartil, desil dan persentil disebut statistik.
3.1. Pengertian
Populasi, Sampel dan Data
Definisi:
Populasi adalah kumpulan dari semua
obyek atau benda yang akan diteliti. Sampel adalah sub kumpulan obyek atau
benda yang merupakan bagian dari populasi. Data adalah bentuk jamak dari datum.
Datum adalah suatu informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan. Dengan
demikian data adalah kumpulan dari datum-datum.
3.2. Statistik Lima Serangkai (Ukuran
terkecil, Ukuran Terbesar, Kuartil Bawah, Median dan Kuartil Atas)
Median adalah data tengah dari suatu
kumpulan data yang telah diurutkan.
Jika n ganjil, maka merupakan bilangan
bulat, sehingga median adalah datum yang ke , sedangkan jika n ganjil, maka median adalah
Contoh:
Tentukan statistik
lima serangkai dari data:
79, 63, 94, 100,
83, 92, 78, 62, 53, 84, 76
Jawab:
Data diurutkan
terlebih dahulu: 53, 62, 63, 76, 78, 79, 83, 84, 92, 94, 100
Ukuran
terkecil : 53
Ukuran terbesar :
100
Kuartil 1
(Q1) :
Median : 79
Kuartil 3
(Q3) :
3.3. Rataan Kuartil dan Rataan Tiga
Rataan Kuartil =
Rataan Tiga =
3.4. Jangkauan Data, Jangkauan Antar
Kuartil, Langkah, Pagar Dalam dan Pagar Luar.
Definisi:
·
Jangkauan data atau Rentangan data
adalah selisih antara nilai
maksimum dan nilai minimum
dari data.
J =
·
Jangkauan antar
kuartil adalah selisih antara kuartil atas dan kuartil
bawah.
H = , Jangkauan antar
kuartil disebut juga hamparan
·
Satu langkah
didefinisikan sebagai satu setengah panjang hamparan. Jika H menyatakan
hamparan dan L menyatakan satu langkah maka:
L = 1,5 x H
·
Pagar Dalam dan Pagar Luar
Pagar dalam (PD) adalah suatu
nilai yang letaknya satu langkah di bawah nilai kuartil bawah dan Pagar Luar (PL)
adalah suatu nilai yang letaknya satu langkah di atas kuartil atas
PD = - L dan PL = + L
3.5. Penyajian Data dalam bentuk
Diagram
Penyajian data dalam bentuk diagram,
misalnya:
a. Diagram Kotak Garis
b. Diagram Batang Daun
c. Diagram Batang
d. Diagram Garis
e. Diagram Lingkaran
3.6. Daftar
Distribusi Frekuensi, Frekuensi Relatif, Frekuensi Kumulatif,
Histogram
Frekuensi,
Poligon Frekuensi dan Ogive
· Daftar
Distribusi Frekuensi adalah suatu cara mengorganisasikan data dengan membagi
data menjadi beberapa kelompok atau kelas, kemudian setiap kelompok atau kelas
dari data dicatat mengenai banyaknya data atau frekuensi yang masuk dalam
kelompok tersebut.
· Frekuensi Relatif adalah frekuensi tiap kelas dibagi frekuensi
total dikalikan 100%
· Frekuensi Kumulatif adalah menjumlahkan setiap frekuensi
dengan frekuensi kelas sebelumnya.
· Histogram adalah salah satu cara menyatakan daftar
distribusi frekuensi atau distribusi frekuensi relatif.
· Poligon Frekuensi adalah garis yang menghubungkan titik
tengah titik tengah pada histogram
· Ogive
adalah kurva distribusi frekuensi kumulatif
3.7. Data Statistika Deskriptif
Ukuran-ukuran Tendensi Sentral
· Rataan Hitung,
Rataan Geometris, Rataan Harmonis dan
Rataan Kuadratis
Rataan Hitung
Misalkan suatu data disajikan dalam bentuk data tunggal yaitu:
, rataan hitung adalah
atau
Rataan untuk
data dalam daftar distribusi frekuensi
Rataan Geometris
Misalkan
data bernilai positif terdiri atas . Rataan geometris
dinyatakan oleh g adalah akar ke n dari perkalian nilai-nilai data:
Rataan
Harmonis
Misalkan data bernilai positif
terdiri atas . Rataan harmonis
dinyatakan oleh h adalah nilai yang
memenuhi
Hubungan antara rataan hitung, rataan geometris dan rataan harmonis
Misalkan diketahui data bilangan-bilangan
positif. Rataan
geometris lebih kecil atau sama dengan rataan hitung tetapi lebih besar
atau
sama
dengan rataan harmonis
Jadi: h £ g £
Rataan Kuadratis
Misalkan data terdiri atas . Rataan kuadratis dinyatakan
oleh k
adalah akar kuadrat dari rata-rata kuadrat data yang diketahui atau
Modus,
Median, Kuartil, Desil dan Persentil
Modus
adalah nilai yang paling banyak muncul.
Modus data dalam bentuk daftar
distribusi frekuensi
Nilai Modus :
L = batas bawah limit kelas modus
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
c = panjang kelas modus
Median data dalam daftar distribusi
frekuensi
Median ( M
L = batas
bawah limit kelas median
n = ukuran
data
frekuensi
kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
c = panjang kelas median
Kuartil, Desil dan Persentil
Untuk data
tunggal kuartil adalah nilai data yang ke , i =1, 2, 3
Jika i = 1
disebut kuartil bawah (Q1)
Jika i = 2
disebut kuartil tengah (Q2) atau Median
Jika i = 3
disebut kuartil atas (Q3)
Untuk data
dalam daftar distribusi frekuensi
Kuartil
(Qi) = dimana i = 1, 2,
3
L = batas
bawah limit kelas Qi
n = ukuran
data
frekuensi
kumulatif sebelum kelas Qi
f = frekuensi kelas Qi
c = panjang kelas Qi
Untuk Desil
dan Persentil caranya sama, yaitu
Desil nilai
data yang ke Persentil nilai
data yang ke
3.8. Ukuran
Penyebaran Data
Ukuran
penyebaran data yang akan dibahas adalah
a. Simpangan Rata-rata
b. Ragam (Variansi) dan Simpangan baku
c. Koefisien Keragaman
d. Angka Baku
a. Simpangan Rata-rata
Definisi:
Misalkan
nilai-nilai data tunggal: , maka simpangan rata-rata
SR =, dimana = rataan hitung
dan n = ukuran data
Untuk data
dalam daftar distribusi frekuensi simpangan rata-rata adalah
SR = , dimana
n = ukuran
data, k = banyaknya kelas dan = frekuensi kelas
ke i
dan titik tengah kelas
ke i
Ragam (Variansi) dan Simpangan baku
Misalkan
nilai-nilai data tunggal: , maka ragam (variansi)
adalah:
sedangkan simpangan baku adalah
Ragam dan
simpangan baku data dalam daftar distribusi frekuensi adalah
sedangkan simpangan baku adalah
, dimana frekuensi kelas ke
i dan
titik tengah kelas
ke i
Koefisien
Keragaman
Koefisien
Keragaman (V) =
Koefisien
Keragaman dinyatakan dalam prosen:
V
=
Angka Baku
Misalkan
suatu nilai datum x dari kumpulan data mempunyai rataan hitung
dan simpangan
baku s, maka angka dari nilai x diberikan oleh
LEMBAR KERJA
Kerjakan soal-soal di bawah ini!
1. a. Berapa carakah dapat dibuat antrian masuk ke bis yang
terdiri atas lima
orang?
b. Bila dua orang tidak saling mengikuti, ada berapa cara
antrian yang dapat terjadi?
2. Dalam berapa macam cara yang berbedakah suatu ujian yang
terdiri atas delapan soal dengan jawaban benar salah dapat dijawab?
3. Dari suatu kotak yang berisi empat bola hitam dan dua
bola hijau, tiga bola diambil secara berturutan. Tiap bola dikembalikan sebelum
pengambilan berikutnya. Tentukan peluang bola hijau yang terambil!
4. Suatu kota
mempunyai dua mobil pemadam kebakaran yang bekerja saling bebas. Peluang suatu mobil tertentu tersedia
bila dibutuhkan adalah 0,99
a. Berapakah peluang keduanya tidak tersedia bila
dibutuhkan?
b. Berapakah peluang suatu mobil tersedia bila dibutuhkan?
5. Skor berikut menyatakan nilai ujian akhir mata pelajaran
statistika:
23 60
79 32 57
74 52 70 82 36
80 77
81 95 41
65 92 85 55 76
52 10
64 75 78
25 80 98 81 67
41 71
83 54 64
72 88 62 74 43
60 78
89 76 84
48 84 90 15 79
34 67
17 82 69
74 63 80 85 61
Susunlah skor
nilai di atas ke dalam daftar distribusi frekuensi, kemudian buatlah
histogram,
poligon frekuensi dan ogive
Hitunglah:
a. Rataan hitung
b. Modus
c. Median
d. Simpangan Kuartil
e. Koefisien Keragaman (V)
f. Selidiki pula apakah skor nilai di atas mengandung
pencilan atau tidak!
SELAMAT BEKERJA
PRETES LOGIKA, PELUANG DAN STATISTIKA
1. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini
tautologi, kontradiksi atau kontingensi!
[ ( p à
~p) q ] à
~ r
2. Tunjukkan bahwa pernyataan di bawah ini implikasi logis!
[( p q ) à
r] à [ p à
(q à r)]
3. Tunjukkan bahwa pernyataan di bawah ini ini ekwivalen
logis!
[ (p à
q) (q à
r)] ( p à
r)
4. Buktikan keabsahan argumen di bawah ini!
Jika dia mempelajari science maka dia
akan mempersiapkan dirinya untuk mempersiapkan penghasilan yang baik dan jika
dia mempelajari kemanusiaan maka dia mempersiapkan diri bagi suatu kehidupan
yang baik.
Jika dia mempelajari science atau
mempersiapkan diri bagi suatu kehidupan yang baik, maka tahun-tahun ajarannya
dimanfaatkan secara baik.
Tahun-tahun ajarannya tidak
dimanfaatkan secara baik.
Oleh karena itu, dia tidak mempelajari
science dan tidak mempelajari kemanusiaan. (s, p, m, h, t)
5. Sebuah mata uang yang tidak setimbang dilantunkan
sebanyak 3 kali. Peluang muncul angka dua kali peluang muncul gambar, tentukan
peluang:
a. muncul
tepat 2 gambar
b. paling
sedikit muncul 1 angka
6. Dalam sebuah kotak terdapat 3 kelereng
warna hijau, 2 kelereng warna merah dan 4 kelereng warna biru. Lima kelereng diambil
secara acak dari dalam kotak tersebut, tentukan peluang diperoleh 2 kelereng
biru dan paling sedikit satu kelereng hijau !
7. Terdapat angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4 dan 5 akan disusun
bilangan yang terdiri dari
3 digit (tanpa
pengulangan), berapakah banyaknya bilangan ganjil yang
terbentuk?
8. Dari kelompok yang terdiri dari lima pria dan
tiga wanita, berapa banyak panitia yang beranggota tiga orang dapat dibuat
a. tanpa pembatasan?
b. dengan dua pria dan satu wanita?
c. dengan seorang pria dan dua wanita, bila
seorang wanita tertentu harus ikut
dalam panitia?
9. Disajikan data sbb: 60, 60, 75, 70, 45, 50, 65, 85
Hitung rataan, modus dan median dari data
di atas!
10. Rata-rata nilai
matematika dari 35 siswa adalah 67. Bila seorang siswa mengikuti ulangan susulan dan nilainya digabung, maka
rata-ratanya menjadi 67,5. Berapakah nilai siswa yang mengikuti ujian susulan?
POSTES
LOGIKA, PELUANG DAN STATISTIKA
1. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini
tautologi, kontradiksi atau kontingensi!
[ (~p V q) à ~ r] [ r à ( p ~ q)]
2. Tunjukkan bahwa
pernyataan di bawah ini implikasi logis!
( p q ) à [ ( p q ) v (~ p ~ q)]
3. Tunjukkan bahwa
pernyataan di bawah ini ini ekwivalen logis!
[ ~ ( p v q ) v r ] [ ( p à r ) ( q à r) ]
4. Buktikan
keabsahan argumen di bawah ini!
Jika harga jatuh atau upah naik maka
pedagang eceran meningkat dan kesibukan iklan akan meningkat. Jika pedagang
eceran meningkat maka pedagang kecil akan mendapat banyak uang. Pedagang kecil
tidak mendapat banyak uang.
Oleh karena itu, harga tidak jatuh ( h,
u, c, i, k )
5. Sebuah dadu yang tidak setimbang dilantunkan.
Peluang
muncul mata dadu ganjil dua kali peluang muncul mata dadu genap. Tentukan peluang
muncul mata dadu bentuk kuadrat bila lebih besar dari 3?
6. Sebuah kelereng diambil secara acak dari
kotak I yang berisi 4 kelereng warna putih dan 5 kelereng warna merah, kemudian
kelereng tersebut dimasukkan ke dalam kotak II yang berisi 5 kelereng warna
putih dan 5 kelereng warna merah. Jika sebuah kelereng diambil secara acak dari
dalam kotak II, berapakah peluang kelereng yang terambil berwarna putih?
7. Terdapat angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4 dan 5 akan disusun
bilangan yang terdiri dari
3 digit (tanpa
pengulangan), berapakah banyaknya bilangan yang lebih besar dari
330?
8. Suatu himpunan mahasiswa asing beranggotakan
dua orang Kanada, tiga Jepang, lima Itali dan dua Jerman. Bila suatu panitia yang terdiri dari
empat orang dibentuk secara acak, berapakah peluang tiap bangsa terwakili?
9. Disajikan data sbb: 60, 60, 75, 70, 45, 50, 65, 85
Hitung:
rata-rata simpangan dan simpangan kuartil
10.
Disajikan data sbb:
X
|
|
31 - 40
|
1
|
41 - 50
|
2
|
51 - 60
|
5
|
61 – 70
|
5
|
71 – 80
|
6
|
81 – 90
|
4
|
91 - 100
|
2
|
Tentukan:
- rataan
- modus
- median